4.1 Introducción
Si denotamos por \(\mathbf{Z}=\left( Z(\mathbf{s}_{1}), \ldots, z(\mathbf{s}_{n} )\right)^\top\) valores observados del proceso, los distintos métodos kriging proporcionan un predictor \(p(\mathbf{Z},\mathbf{s}_{0})\) de \(Z(\mathbf{s}_{0})\) verificando que:
es lineal: \[p(\mathbf{Z},\mathbf{s}_{0}) = \lambda_{0} + \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_{i} Z(\mathbf{s}_{i}),\]
es uniformemente insesgado, para cualquier \(\mu(\cdot)\): \[E(p(\mathbf{Z},\mathbf{s}_{0}))=\mu(\mathbf{s}_{0}),\]
y minimiza el error en media cuadrática de predicción (mean squared prediction error, MSPE): \[E\left( \left( p(\mathbf{Z},\mathbf{s}_{0})-Z(\mathbf{s}_{0})\right)^2 \right).\]
En este capítulo, al hablar de predicción óptima, nos referiremos a que se verifican estas dos últimas condiciones.
Dependiendo de las suposiciones acerca de la función de tendencia \(\mu(\cdot)\), se distingue principalmente entre tres métodos kriging:
Kriging simple (KS): se supone que la media es conocida (algunos autores suponen también que es constante o incluso cero). Además se asume que el covariograma existe y es conocido.
Kriging ordinario (KO): se supone que la media es constante (i.e. \(E(Z(\mathbf{s}))=\mu ,\forall \mathbf{s}\in D\)) y desconocida. Además se asume que por lo menos existe el variograma y es conocido.
Kriging universal (KU; también denominado kriging con modelo de tendencia): se supone que la media es desconocida y no constante, pero que es una combinación lineal (desconocida) de \(p+1\) funciones (o variables explicativas) conocidas \(\left\{ X_{j} (\cdot):j=0, \ldots,p\right\}\): \[\mu(\mathbf{s})=\sum\limits_{j=0}^{p}X_{j} (\mathbf{s})\beta_{j}\] donde \(\boldsymbol{\beta}=(\beta_{0}, \ldots, \beta_{p} )^\top \in \mathbb{R}^{p+1}\) es un vector desconocido. Se asume también que por lo menos existe el variograma y es conocido20.
Por simplicidad el kriging ordinario se tratará en este capítulo como un caso particular del kriging universal (aunque en la práctica se suele pensar en el KO como un método distinto al KU, principalmente por los inconvenientes que presenta este último; ver Sección 3.3.2). Adicionalmente en la Sección 4.3.2 se tratará una extensión del KU denominada kriging residual o kriging con tendencia externa.
La suposición de que el variograma (o el covariograma) sólo dependa del salto es conveniente para facilitar el modelado de la dependencia espacial, pero para la predicción espacial no es necesaria esta consideración. Por tanto en las expresiones de las ecuaciones de los distintos métodos kriging se utilizará la notación más general no estacionaria: \[C(\mathbf{s}_{1}, \mathbf{s}_{2}) = Cov(Z(\mathbf{s}_{1}), Z(\mathbf{s}_{2})),\] \[2\gamma(\mathbf{s}_{1}, \mathbf{s}_{2}) = Var(Z(\mathbf{s}_{1}) - Z(\mathbf{s}_{2})),\] en lugar de suponer que son funciones de \(\mathbf{s}_{1}-\mathbf{s}_{2}\).