Capítulo 3 Modelado de procesos geoestadísticos
Como se comentó en la Sección 1.4 la aproximación tradicional (paramétrica) para el modelado de un proceso geoestadístico, es decir, estimar la tendencia \(\mu(\mathbf{s})\) y el semivariograma \(\gamma(\mathbf{h})\), consiste en los siguientes pasos:
Análisis exploratorio y formulación de un modelo paramétrico (inicial).
Estimación de los parámetros del modelo:
Estimar y eliminar la tendencia (suponiendo que no es constante).
Modelar la dependencia (ajustar un modelo de variograma) a partir de los residuos (o directamente de las observaciones si la tendencia se supone constante).
Validación del modelo o reformulación del mismo.
Empleo del modelo aceptado.
El procedimiento habitual para el modelado de la dependencia en el paso 2 (también denominado análisis estructural) consiste en obtener una estimación inicial del semivariograma utilizando algún tipo de estimador experimental (Sección 3.1) y posteriormente ajustar un modelo paramétrico válido de semivariograma a las estimaciones “piloto” obtenidas en el primer paso (secciones 3.2 y 3.3).
El principal problema con esta aproximación aparece cuando no se puede asumir que la tendencia es constante, ya que los estimadores muestrales descritos en la siguiente sección solo son adecuados para procesos estacionarios. En este caso, como la media es constante, entonces: \[\begin{equation} E(Z(\mathbf{s}_1) - Z(\mathbf{s}_{2}))^2 = 2\gamma(\mathbf{s}_1 -\mathbf{s}_{2}), \ \forall \mathbf{s}_1 ,\mathbf{s}_{2} \in D. \tag{3.1} \end{equation}\] Sin embargo, cuando la tendencia no es constante: \[\begin{equation} E(Z(\mathbf{s}_1) - Z(\mathbf{s}_{2}))^2 = 2\gamma(\mathbf{s}_1 - \mathbf{s}_{2}) + \left( \mu(\mathbf{s}_1)-\mu(\mathbf{s}_{2})\right)^2, \tag{3.2} \end{equation}\] y no es necesariamente función de \(\mathbf{s}_1 -\mathbf{s}_{2}\), ni tiene por qué verificar las propiedades de un variograma. Por este motivo, estos estimadores no deben ser utilizados mientras que no se elimine la tendencia de los datos.
Si no se puede asumir que la tendencia es constante, para poder estimarla de forma eficiente sería necesario conocer la dependencia (i.e. conocer \(\gamma(\cdot)\)). Este problema circular se suele resolver en la práctica realizando el paso 2 de forma iterativa, como se describe en la Sección 3.3.2. Otra alternativa sería asumir normalidad y estimar ambos componentes de forma conjunta empleando alguno de los métodos basados en máxima verosimilitud descritos en la Sección 3.3.3.
Finalmente, en el paso 3, para verificar si el modelo (de tendencia y variograma) describe adecuadamente la variabilidad espacial de los datos (y para comparar modelos), se emplea normalmente la técnica de validación cruzada, descrita en la Sección 4.6 del siguiente capítulo (en el que también se describe los principales métodos empleados en el paso 4).