B.3 Modelado de la dependencia

En la primera parte de esta sección consideraremos un proceso espacial sin tendencia:

data(s100) # Cargar datos estacionarios
summary(s100)
## Number of data points: 100 
## 
## Coordinates summary
##         Coord.X    Coord.Y
## min 0.005638006 0.01091027
## max 0.983920544 0.99124979
## 
## Distance summary
##         min         max 
## 0.007640962 1.278175109 
## 
## Data summary
##       Min.    1st Qu.     Median       Mean    3rd Qu.       Max. 
## -1.1676955  0.2729882  1.1045936  0.9307179  1.6101707  2.8678969 
## 
## Other elements in the geodata object
## [1] "cov.model" "nugget"    "cov.pars"  "kappa"     "lambda"
plot(s100)

En el último apartado se tratará el caso general.

B.3.1 Variogramas empíricos

Los variogramas empíricos se calculan utilizando la función variog:

oldpar <- par(mfrow=c(1,2)) 
plot(variog(s100))
## variog: computing omnidirectional variogram
plot(variog(s100, max.dist = 0.6))
## variog: computing omnidirectional variogram

par(oldpar)

La recomendación es considerar solo saltos hasta la mitad de la máxima distancia (ver Distance summary en resultados del sumario).

vario <- variog(s100, max.dist = 0.6)
## variog: computing omnidirectional variogram
names(vario)
##  [1] "u"                "v"                "n"                "sd"              
##  [5] "bins.lim"         "ind.bin"          "var.mark"         "beta.ols"        
##  [9] "output.type"      "max.dist"         "estimator.type"   "n.data"          
## [13] "lambda"           "trend"            "pairs.min"        "nugget.tolerance"
## [17] "direction"        "tolerance"        "uvec"             "call"
# str(vario)

NOTA: La componente u contiene los saltos, v las estimaciones del semivariograma (semivarianzas) y n el número de aportaciones.

Los resultados pueden ser nubes de puntos (semivarianzas), valores discretizados (binned) o suavizados, dependiendo del parámetro: option = c("bin", "cloud", "smooth")

# Calculo de los variogramas empíricos
vario.b <- variog(s100, max.dist = 0.6) #discretizado
## variog: computing omnidirectional variogram
vario.c <- variog(s100, max.dist=0.6, op="cloud")  #nube
## variog: computing omnidirectional variogram
vario.bc <- variog(s100, max.dist=0.6, bin.cloud=TRUE)  #discretizado+nube
## variog: computing omnidirectional variogram
vario.s <- variog(s100, max.dist=0.6, op="sm", band=0.2)  #suavizado
## variog: computing omnidirectional variogram
# Representación gráfica
oldpar<-par(mfrow=c(2,2)) # Preparar para 4 gráficos por ventana
plot(vario.b, main="Variograma empírico")
plot(vario.c, main="Nube de puntos variograma")
plot(vario.bc, bin.cloud=TRUE, main="Graficos de cajas")
title("Gráficos de cajas") # Corregir fallo del comando anterior
plot(vario.s, main="Variograma suavizado")

par(oldpar) # Restaurar opciones de gráficos

Si hay valores atípicos (o la distribución de los datos es asimétrica) puede ser preferible utilizar el estimador robusto. Se puede calcular este estimador estableciendo estimator.type = "modulus":

varior.b <- variog(s100, estimator.type = "modulus", max.dist=0.6)
## variog: computing omnidirectional variogram
varior.bc <- variog(s100, estimator.type = "modulus", max.dist=0.6, bin.cloud=TRUE)
## variog: computing omnidirectional variogram
oldpar<-par(mfrow=c(2,2)) #Preparar para 4 gráficos por ventana
plot(vario.b, main="Estimador clásico")
plot(varior.b, main="Estimador robusto")
plot(vario.bc, bin.cloud=TRUE)
plot(varior.bc, bin.cloud=TRUE)

par(oldpar) #Restaurar opciones de gráficos

En el caso de anisotropía, también se pueden obtener variogramas direccionales con la función variog mediante los argumentos direction y tolerance. Por ejemplo, para calcular un variograma en la dirección de 60 grados (con la tolerancia angular por defecto de 22.5 grados):

vario.60 <- variog(s100, max.dist = 0.6, direction = pi/3) #variograma en la dirección de 60 grados
## variog: computing variogram for direction = 60 degrees (1.047 radians)
##         tolerance angle = 22.5 degrees (0.393 radians)

Para estudiar si hay anisotropía, se pueden cálcular de forma rápida variogramas direccionales con la función variog4. Por defecto calcula cuatro variogramas direccionales, correspondientes a los ángulos 0, 45, 90 y 135 grados:

vario.4 <- variog4(s100, max.dist = 0.6)
## variog: computing variogram for direction = 0 degrees (0 radians)
##         tolerance angle = 22.5 degrees (0.393 radians)
## variog: computing variogram for direction = 45 degrees (0.785 radians)
##         tolerance angle = 22.5 degrees (0.393 radians)
## variog: computing variogram for direction = 90 degrees (1.571 radians)
##         tolerance angle = 22.5 degrees (0.393 radians)
## variog: computing variogram for direction = 135 degrees (2.356 radians)
##         tolerance angle = 22.5 degrees (0.393 radians)
## variog: computing omnidirectional variogram
oldpar <- par(mfrow=c(1,2))
plot(vario.60)
title(main = expression(paste("direccional, angulo = ", 60 * degree)))
plot(vario.4, lwd = 2)

par(oldpar)

B.3.2 Ajuste de un modelo de variograma

Los estimadores empíricos no pueden ser empleados en la práctica (no verifican necesariamente las propiedades de un variograma válido), por lo que se suele recurrir en la práctica al ajuste de un modelo válido. Con el paquete geoR podemos realizar el ajuste:

  1. “A ojo”: representando diferentes modelos sobre un variograma empírico (usando la función lines.variomodel o la función eyefit).

  2. Por mínimos cuadrados: ajustando por mínimos cuadrados ordinarios (OSL) o ponderados (WLS) al variograma empírico (usando la función variofit),

  3. Por máxima verosimilitud: estimando por máxima verosimilitud (ML) o máxima verosimilitud restringida (REML) los parámetros a partir de los datos (utilizando la función likfit),

  4. Métodos bayesianos (utilizando la función krige.bayes).

Ejemplo de ajuste “a ojo”:

vario.b <- variog(s100, max.dist=0.6) #discretizado
## variog: computing omnidirectional variogram
vario.s <- variog(s100, max.dist=0.6,option = "smooth", kernel = "normal", band = 0.2)  #suavizado
## variog: computing omnidirectional variogram
plot(vario.b)
lines(vario.s, type = "l", lty = 2)

lines.variomodel(cov.model = "exp", cov.pars = c(1,0.3), nugget = 0, max.dist = 0.6, lwd = 3)
legend(0.3, 0.3, c("empirico", "suavizado", "modelo exponencial"), lty = c(1, 2, 1), lwd = c(1, 1, 3))

Otros ajustes:

plot(vario.b)
lines.variomodel(cov.model = "exp", cov.pars = c(0.9,0.3), nug = 0.1, max.dist = 0.6)
lines.variomodel(cov.model = "mat", cov.pars = c(0.85,0.2), nug = 0.1, kappa = 1, max.dist = 0.6,lty = 2)
lines.variomodel(cov.model = "sph", cov.pars = c(0.8,0.8), nug = 0.1, max.dist = 0.6, lwd = 2)

Nota: no hace falta escribir el nombre completo de los parámetros (basta con que no dé lugar a confusión).

En las versiones recientes de geoR está disponible una función para realizar el ajuste gráficamente de forma interactiva (cuadro de diálogo en tcl/tk):

eyefit(vario.b)

Cuando se utilizan las funciones variofit y likfit para la estimación de parámetros, el efecto pepita (nugget) puede ser estimado o establecido a un valor fijo. Lo mismo ocurre con los parámetros de suavidad, anisotropía y transformación de los datos. También se dispone de opciones para incluir una tendencia. Las tendencias pueden ser polinomios en función de las coordenadas y/o funciones lineales de otras covariables.

Ejemplos de estimación por mínimos cuadrados (llamadas a variofit):

#   Modelo exponencial con par ini umbral 1 y escala 0.5 (1/3 rango = 1.5)
vario.ols <- variofit(vario.b, ini = c(1, 0.5), weights = "equal")  #ordinarios
## variofit: covariance model used is matern 
## variofit: weights used: equal 
## variofit: minimisation function used: optim
vario.wls <- variofit(vario.b, ini = c(1, 0.5), weights = "cressie")  #ponderados
## variofit: covariance model used is matern 
## variofit: weights used: cressie 
## variofit: minimisation function used: optim
vario.wls
## variofit: model parameters estimated by WLS (weighted least squares):
## covariance model is: matern with fixed kappa = 0.5 (exponential)
## parameter estimates:
##   tausq sigmasq     phi 
##  0.1955  2.0110  1.4811 
## Practical Range with cor=0.05 for asymptotic range: 4.437092
## 
## variofit: minimised weighted sum of squares = 31.5115
summary(vario.wls)
## $pmethod
## [1] "WLS (weighted least squares)"
## 
## $cov.model
## [1] "matern"
## 
## $spatial.component
##  sigmasq      phi 
## 2.010972 1.481138 
## 
## $spatial.component.extra
## kappa 
##   0.5 
## 
## $nugget.component
##     tausq 
## 0.1955322 
## 
## $fix.nugget
## [1] FALSE
## 
## $fix.kappa
## [1] TRUE
## 
## $practicalRange
## [1] 4.437092
## 
## $sum.of.squares
##   value 
## 31.5115 
## 
## $estimated.pars
##     tausq   sigmasq       phi 
## 0.1955322 2.0109718 1.4811376 
## 
## $weights
## [1] "cressie"
## 
## $call
## variofit(vario = vario.b, ini.cov.pars = c(1, 0.5), weights = "cressie")
## 
## attr(,"class")
## [1] "summary.variomodel"

Ejemplo de estimación por máxima verosimilitud (llamada a likfit):

vario.ml <- likfit(s100, ini = c(1, 0.5)) #Modelo exponencial con par ini umbral y escala (1/3 rango)
## ---------------------------------------------------------------
## likfit: likelihood maximisation using the function optim.
## likfit: Use control() to pass additional
##          arguments for the maximisation function.
##         For further details see documentation for optim.
## likfit: It is highly advisable to run this function several
##         times with different initial values for the parameters.
## likfit: WARNING: This step can be time demanding!
## ---------------------------------------------------------------
## likfit: end of numerical maximisation.
vario.ml
## likfit: estimated model parameters:
##     beta    tausq  sigmasq      phi 
## "0.7766" "0.0000" "0.7517" "0.1827" 
## Practical Range with cor=0.05 for asymptotic range: 0.547383
## 
## likfit: maximised log-likelihood = -83.57
summary(vario.ml)
## Summary of the parameter estimation
## -----------------------------------
## Estimation method: maximum likelihood 
## 
## Parameters of the mean component (trend):
##   beta 
## 0.7766 
## 
## Parameters of the spatial component:
##    correlation function: exponential
##       (estimated) variance parameter sigmasq (partial sill) =  0.7517
##       (estimated) cor. fct. parameter phi (range parameter)  =  0.1827
##    anisotropy parameters:
##       (fixed) anisotropy angle = 0  ( 0 degrees )
##       (fixed) anisotropy ratio = 1
## 
## Parameter of the error component:
##       (estimated) nugget =  0
## 
## Transformation parameter:
##       (fixed) Box-Cox parameter = 1 (no transformation)
## 
## Practical Range with cor=0.05 for asymptotic range: 0.547383
## 
## Maximised Likelihood:
##    log.L n.params      AIC      BIC 
## "-83.57"      "4"  "175.1"  "185.6" 
## 
## non spatial model:
##    log.L n.params      AIC      BIC 
## "-125.8"      "2"  "255.6"  "260.8" 
## 
## Call:
## likfit(geodata = s100, ini.cov.pars = c(1, 0.5))

Ejemplo de estimación por máxima verosimilitud restringida (opción de likfit):

vario.reml <- likfit(s100, ini = c(1, 0.5), lik.method = "RML")
## ---------------------------------------------------------------
## likfit: likelihood maximisation using the function optim.
## likfit: Use control() to pass additional
##          arguments for the maximisation function.
##         For further details see documentation for optim.
## likfit: It is highly advisable to run this function several
##         times with different initial values for the parameters.
## likfit: WARNING: This step can be time demanding!
## ---------------------------------------------------------------
## likfit: end of numerical maximisation.
summary(vario.reml)
## Summary of the parameter estimation
## -----------------------------------
## Estimation method: restricted maximum likelihood 
## 
## Parameters of the mean component (trend):
##   beta 
## 0.7478 
## 
## Parameters of the spatial component:
##    correlation function: exponential
##       (estimated) variance parameter sigmasq (partial sill) =  0.8473
##       (estimated) cor. fct. parameter phi (range parameter)  =  0.2102
##    anisotropy parameters:
##       (fixed) anisotropy angle = 0  ( 0 degrees )
##       (fixed) anisotropy ratio = 1
## 
## Parameter of the error component:
##       (estimated) nugget =  0
## 
## Transformation parameter:
##       (fixed) Box-Cox parameter = 1 (no transformation)
## 
## Practical Range with cor=0.05 for asymptotic range: 0.6296295
## 
## Maximised Likelihood:
##    log.L n.params      AIC      BIC 
## "-81.53"      "4"  "171.1"  "181.5" 
## 
## non spatial model:
##    log.L n.params      AIC      BIC 
## "-125.1"      "2"  "254.1"  "259.3" 
## 
## Call:
## likfit(geodata = s100, ini.cov.pars = c(1, 0.5), lik.method = "RML")

NOTAS:

  • Para fijar el nugget a un valor p.e. 0.15 añadir las opciones: fix.nugget = TRUE, nugget = 0.15.

  • Se puede tener en cuenta anisotropía geométrica en los modelos de variograma a partir de los parámetros psiA (ángulo, en radianes, de la dirección de mayor dependencia espacial i.e. con el máximo rango) y psiR (relación, mayor o igual que 1, entre los rangos máximo y mínimo). Se pueden fijar a distintos valores o estimarlos incluyendo las opciones fix.psiA = FALSE y fix.psiR = FALSE en las llamadas a las rutinas de ajuste.)

Representación gráfica junto al estimador empírico:

plot(vario.b, main = "Estimador empírico y modelos ajustados")
lines(vario.ml, max.dist = 0.6)
lines(vario.reml, lwd = 2, max.dist = 0.6)
lines(vario.ols, lty = 2, max.dist = 0.6)
lines(vario.wls, lty = 2, lwd = 2, max.dist = 0.6)
legend(0.3, 0.3, legend = c("ML", "REML", "OLS", "WLS"), lty = c(1, 1, 2, 2), lwd = c(1, 2,1, 2)) 

B.3.3 Inferencia sobre el variograma

Se pueden obtener dos tipos de envolventes (envelopes, i.e. valores máximos y mínimos aproximados) del variograma empírico mediante simulación:

  • Bajo la hipótesis de que no hay correlación espacial (obtenidos por permutaciones aleatorias de los datos sobre las posiciones espaciales), para estudiar si hay una dependencia espacial “significativa”.

  • Bajo un modelo de variograma, para ilustrar la variabilidad del variograma empírico.

env.indep <- variog.mc.env(s100, obj.var = vario.b)
## variog.env: generating 99 simulations by permutating data values
## variog.env: computing the empirical variogram for the 99 simulations
## variog.env: computing the envelops
env.model <- variog.model.env(s100, obj.var = vario.b, model = vario.wls)
## variog.env: generating 99 simulations (with  100 points each) using the function grf
## variog.env: adding the mean or trend
## variog.env: computing the empirical variogram for the 99 simulations
## variog.env: computing the envelops
oldpar <- par(mfrow = c(1, 2))
plot(vario.b, envelope = env.indep)
plot(vario.b, envelope = env.model)
lines(vario.wls, lty = 2, lwd = 2, max.dist = 0.6)

par(oldpar)     

Para estudiar si hay una dependencia espacial “significativa” se puede emplear también la rutina sm.variogram del paquete sm. Estableciendo model = "independent" devuelve un p-valor para contrastar la hipótesis nula de independencia (i.e. se acepta que hay una dependencia espacial si \(p \leq \alpha = 0.05\)) y un gráfico en el que se muestra el estimador empírico robusto, un estimador suavizado y una región de confianza para el variograma suponiendo que el proceso es independiente (i.e. consideraríamos que hay dependencia espacial si el variograma suavizado no está contenido en esa región).

library(sm)
## Package 'sm', version 2.2-5.6: type help(sm) for summary information
sm.variogram(s100$coords, s100$data, model = "independent")
## Test of spatial independence: p =  0.024

Nota: Se puede realizar contrastes adicionales estableciendo el parámetro model a "isotropic" o "stationary".

B.3.4 Estimación del variograma en procesos no estacionarios

Cuando el proceso no es estacionario (no se puede emplear directamente los estimadores empíricos) hay que eliminar la tendencia para estimar el variograma:

oldpar <- par(mfrow=c(1,2)) 
plot(variog(wolfcamp, max.dist = 200)) # Supone que el proceso es estacionario
## variog: computing omnidirectional variogram
plot(variog(wolfcamp, trend = ~coords, max.dist = 200)) # Asume una tendencia lineal en las coordenadas
## variog: computing omnidirectional variogram

par(oldpar)