3.4 Comentarios sobre los distintos métodos

Podemos afirmar que los métodos de estimación basados en mínimos cuadrados son los utilizados con mayor frecuencia en geoestadística. Por el contrario la estimación por máxima verosimilitud ha sido objeto de debate, con numerosos comentarios en la literatura a favor (e.g. Pardo-Igúzquiza, 1998) y en contra (e.g. Ripley, 1988) de este tipo de métodos.

Una ventaja de los métodos de máxima verosimilitud es que permiten estimar de forma conjunta \(\boldsymbol{\beta}\) y \(\boldsymbol{\theta}\) directamente de los datos (y no es necesario calcular estimaciones piloto del variograma). Los problemas numéricos relacionados con este tipo de estimación se pueden resolver en la práctica utilizando por ejemplo algoritmos genéticos; aunque el tiempo de computación aumenta notablemente cuando el número de datos es grande (algo que también ocurre con el método GLS). Sin embargo, uno de los principales inconvenientes normalmente achacados a estos métodos es que la hipótesis de normalidad es difícil (o más bien imposible) de chequear en la práctica a partir de una única realización parcial del proceso. Otro problema que también se debe tener en cuenta al utilizar estos métodos es su falta de robustez cuando hay valores atípicos (outliers) en los datos.

No obstante es de esperar que las estimaciones obtenidas con los métodos de máxima verosimilitud sean más eficientes cuando la distribución de los datos se aproxima a la normalidad y el modelo paramétrico está especificado correctamente (especialmente con la estimación REML); aunque no está claro si esta mejora es realmente significativa comparada con otros métodos más sencillos como el de WLS. De hecho, bajo la hipótesis de normalidad, Zimmerman y Zimmerman (1991) observaron, al comparar mediante simulación las estimaciones obtenidas utilizando distintos métodos (entre ellos ML, REML, OLS, WLS y GLS), que el método de WLS era a veces el mejor procedimiento y nunca resultaba malo (considerando el sesgo, el error en media cuadrática y la cobertura del intervalo de predicción al 95%). Además, los métodos de mínimos cuadrados sólo utilizan la estructura asintótica de segundo orden del estimador piloto (no es necesario hacer suposiciones sobre la distribución completa de los datos), por lo que resultan ser más robustos que los de máxima verosimilitud cuando no se conoce por completo la distribución de \(Z\) (e.g. Carroll y Ruppert, 1982) y son adecuados incluso cuando la distribución de los datos no es normal (aunque en ese caso pueden no ser los óptimos). Los comentarios anteriores, además de su fácil implementación, justifican que el método WLS sea el preferible para muchos autores.

Por otra parte, si se asume un modelo paramétrico habrá que asegurarse en la práctica de que esa suposición es adecuada. Diblasi y Bowman (2001) propusieron un método basado en la estimación no paramétrica para contrastar si el variograma teórico de un proceso estacionario es constante (i.e. si no hay dependencia espacial; ver Figura 3.3). Posteriormente Maglione y Diblasi (2004) propusieron contrastes de hipótesis para verificar si un determinado modelo paramétrico semivariograma es apropiado (ver también Bowman y Crujeiras, 2013). Para evitar posibles problemas relacionados con la mala especificación del modelo de variograma se puede pensar en su estimación de forma no paramétrica (Capítulo XX; ver paquete npsp). En este caso los métodos de mínimos cuadrados serán claramente preferibles a los basados en máxima verosimilitud.

Para comparar el ajuste obtenido con distintos modelos se pueden considerar los correspondientes valores finales de la función objetivo utilizada; por ejemplo los valores WLS (o GLS) correspondientes a su ajuste al estimador piloto o los valores del NLL si se utiliza alguno de los métodos de máxima verosimilitud (en este caso también se pueden emplear criterios para la selección de modelos que tengan en cuenta el número de parámetros, como AIC -Aikaike Information Criterion- o BIC -Bayesian Information Criterion). Sin embargo en muchas ocasiones el objetivo final es la predicción, por lo que se suele utilizar la técnica de validación cruzada descrita en la Sección 4.6.