5.1 Aproximación del p-valor mediante remuestreo

En los métodos tradicionales de contrastes de hipótesis se conoce o se puede aproximar la distribución del estadístico del contraste bajo \(H_0\). Muchas de estas aproximaciones están basadas en resultados asintóticos y pueden no ser adecuadas para tamaños muestrales pequeños. En ese caso, o si no se dispone de estas herramientas, se puede recurrir a métodos de remuestreo para aproximar el \(p\)-valor. Uno de los procedimientos más antiguos es el denominado contraste de permutaciones (Fisher, 1935; Pitman, 1937; Welch, 1937). Aunque el bootstrap paramétrico y el semiparamétrico son los procedimientos de remuestreo más empleados para aproximar la distribución del estadístico de contraste bajo la hipótesis nula.

La idea es obtener remuestras de una aproximación de la distribución del estadístico bajo \(H_0\). En el bootstrap paramétrico y semiparamétrico se estima la distribución de los datos bajo la hipótesis nula, \(\hat{F}_0\), y se obtienen réplicas del estadístico a partir de remuestras de esta distribución (no sería adecuado emplear directamente la distribución empírica). En el caso de los contrastes de permutaciones las remuestras se obtienen directamente de los datos, remuestreando sin reemplazamiento los valores de la respuesta (y manteniendo fijas las covariables).

Finalmente, se emplean las réplicas bootstrap del estadístico \(d_1^{\ast},\ldots, d_B^{\ast}\) para aproximar el \(p\)-valor. Por ejemplo, en el caso de un contraste unilateral en el que el estadístico del contraste tiende a tomar valores grandes si la hipótesis nula es falsa, se podría emplear como aproximación: \[p_{boot} = \frac{1}{B}\#\left\{ d_i^{\ast} \geq \hat{d} \right\}.\] Mientras que en el caso bilateral, asumiendo que la distribución del estadístico no es necesariamente simétrica, habría que emplear: \[p_{boot} = \frac{2}{B} \min \left(\#\left\{ d_i^{\ast} \leq \hat{d} \right\}, \#\left\{ d_i^{\ast} \geq \hat{d} \right\}\right).\]