4.4 Método percentil-t simetrizado

Es un método análogo al percentil-\(t\). Sólo difiere de él en la forma de seleccionar los cuantiles de la distribución bootstrap. En lugar de tomar cuantiles que dejen colas iguales (\(\frac{\alpha }{2}\) a la izquierda y a la derecha, respectivamente), se eligen los cuantiles de forma que sean simétricos. Así, dado el estadístico \(R_1\) y su versión bootstrap \(R_1^{\ast}\), se considera el valor \(y_{1-\alpha }\) que cumple \(P^{\ast}\left( \left\vert R_1^{\ast}\right\vert \leq y_{1-\alpha } \right) =1-\alpha\). Así se tiene que \[1-\alpha =P^{\ast}\left( -y_{1-\alpha }\leq R_1^{\ast} \leq y_{1-\alpha} \right).\] De esa forma se razona que también ha de ser aproximadamente igual a \(1-\alpha\) la siguiente probabilidad \[\begin{aligned} P\left( -y_{1-\alpha }<R_1<y_{1-\alpha } \right) &= P\left( -y_{1-\alpha } < \sqrt{n}\frac{\hat{\theta}-\theta }{\hat{\sigma}_{\theta }} < y_{1-\alpha} \right) \\ &= P\left( \hat{\theta}-\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}}y_{1-\alpha }<\theta <\hat{\theta}+\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}}y_{1-\alpha } \right). \end{aligned}\]

Con lo cual, el intervalo de confianza bootstrap calculado por el método percentil-\(t\) simetrizado se define como \[\hat{I}_3=\left( \hat{\theta}-\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}} y_{1-\alpha },\hat{\theta}+\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}} y_{1-\alpha } \right).\]

Utilizando el Teorema de Bhattacharya-Ghosh con desarrollos hasta el orden \(n^{-1}\) se tiene: \[\begin{aligned} P^{\ast}\left( R_1^{\ast}\leq u \right) -P\left( R_1\leq u \right) =&\ P^{\ast}\left( \sqrt{n}\frac{\hat{\theta}^{\ast}-\theta \left( \hat{F} \right)}{\hat{\sigma}_{\theta }^{\ast}}\leq u \right) -P\left( \sqrt{n} \frac{\hat{\theta}-\theta }{\hat{\sigma}_{\theta }}\leq u \right) \\ =&\ \Phi \left( u \right) +n^{-\frac{1}{2}}\hat{q}_1\left( u \right) \phi \left( u \right) +n^{-1}\hat{q}_2\left( u \right) \phi \left( u \right) +O_{P}\left( n^{-\frac{3}{2}} \right) \\ & -\left[ \Phi \left( u \right) +n^{-\frac{1}{2}}q_1\left( u \right) \phi \left( u \right) +n^{-1}q_2\left( u \right) \phi \left( u \right) +O\left( n^{-\frac{3}{2}} \right) \right] \\ =&\ n^{-\frac{1}{2}}\left[ \hat{q}_1\left( u \right) -q_1\left( u \right) \right] \phi \left( u \right) +n^{-1}\left[ \hat{q}_2\left( u \right) -q_2\left( u \right) \right] \phi \left( u \right) +O_{P}\left( n^{-\frac{3}{2}} \right). \end{aligned}\]

Como consecuencia, el error de cobertura del intervalo de confianza bootstrap bilateral calculado por el método percentil-\(t\) simetrizado es \[\begin{aligned} P\left( \theta \in \hat{I}_3 \right) -\left( 1-\alpha \right) =&\ P\left(-y_{1-\alpha }<R_1<y_{1-\alpha } \right) -P^{\ast}\left( -y_{1-\alpha }<R_1^{\ast}<y_{1-\alpha } \right) \\ =&\ P\left( R_1<y_{1-\alpha } \right) -P^{\ast}\left( R_1^{\ast }<y_{1-\alpha } \right) - \\ &-\left[ P\left( R_1\leq -y_{1-\alpha } \right) -P^{\ast}\left( R_1^{\ast }\leq -y_{1-\alpha } \right) \right] \\ =&\ n^{-\frac{1}{2}}\left[ q_1\left( y_{1-\alpha } \right) -\hat{q}_1\left( y_{1-\alpha } \right) \right] \phi \left( y_{1-\alpha } \right) \\ &+n^{-1}\left[ q_2\left( y_{1-\alpha } \right) -\hat{q}_2\left( y_{1-\alpha } \right) \right] \phi \left( y_{1-\alpha } \right) \\ &-n^{-\frac{1}{2}}\left[ q_1\left( -y_{1-\alpha } \right) -\hat{q}_1\left( -y_{1-\alpha } \right) \right] \phi \left( -y_{1-\alpha } \right) \\ &-n^{-1}\left[ q_2\left( -y_{1-\alpha } \right) -\hat{q}_2\left( -y_{1-\alpha } \right) \right] \phi \left( -y_{1-\alpha } \right) +O_{P}\left( n^{-\frac{3}{2}} \right) \\ =&\ 2n^{-1}\left[ q_2\left( y_{1-\alpha } \right) -\hat{q}_2\left( y_{1-\alpha } \right) \right] \phi \left( y_{1-\alpha } \right) +O_{P}\left( n^{-\frac{3}{2}} \right) \\ =&\ O_{P}\left( n^{-\frac{3}{2}} \right) \end{aligned}\]

ya que los polinomios \(q_1\left( u \right)\) y \(\hat{q}_1\left( u \right)\) son simétricos, \(q_2\left( u \right)\) y \(\hat{q}_2\left( u \right)\) son antisimétricos, la función \(\phi \left( u \right)\) es simétrica y los coeficientes que aparecen en el polinomio \(\hat{q}_2\left( u \right)\) son estimadores \(\sqrt{n}\)-consistentes de los coeficientes del polinomio \(q_2\left( u \right)\). Como consecuencia, el error de cobertura para los intervalos de confianza bilaterales bootstrap obtenidos mediante el método percentil-\(t\) simetrizado es \(O\left( n^{-\frac{3}{2}} \right)\). Puede deducirse que el orden para los intervalos unilaterales obtenidos por este método es \(O\left( n^{-1} \right)\). Así pues el orden del error de cobertura para el método percentil-\(t\) simetrizado cuando se construyen intervalos de confianza unilaterales mejora al de los intervalos unilaterales basados en la normal asintótica, con un error de cobertura de orden \(O\left( n^{-\frac{1}{2}} \right)\), e iguala al orden del error de cobertura de los obtenidos mediante el percentil-\(t\). En el caso de los intervalos de confianza bilaterales, el orden del error de cobertura usando el método percentil-\(t\) simetrizado es \(O\left( n^{-\frac{3}{2}} \right)\), el cual mejora el orden \(O\left( n^{-1} \right)\), que es el que presentan los intervalos basados en la normal asintótica o bien en el método percentil-\(t\).