4.3 Método percentil-t

Este método bootstrap, construye un intervalo de confianza bootstrap a partir del estadístico studentizado: \[R_1=\sqrt{n}\frac{\hat{\theta}-\theta }{\hat{\sigma}_{\theta }}.\] Su distribución en el muestreo se aproxima mediante la distribución bootstrap de \[R_1^{\ast}=\sqrt{n}\frac{\hat{\theta}^{\ast}-\theta \left( \hat{F} \right)}{\hat{\sigma}_{\theta }^{\ast}}.\] En este caso, los valores \(x_{\alpha /2}\) y \(x_{1-\alpha /2}\), se obtienen a partir de esta última distribución bootstrap, es decir, \(x_{\beta }\) se define a partir de \(P^{\ast}\left( R_1^{\ast}\leq x_{\beta } \right) =\beta\). Como \[1-\alpha =P^{\ast}\left( x_{\alpha /2}<R_1^{\ast}<x_{1-\alpha /2} \right),\] razonamos que también ha de ser aproximadamente igual a \(1-\alpha\) la siguiente probabilidad \[\begin{aligned} P\left( x_{\alpha /2}<R_1<x_{1-\alpha /2} \right) &= P\left( x_{\alpha /2}< \sqrt{n}\frac{\hat{\theta}-\theta }{\hat{\sigma}_{\theta }}<x_{1-\alpha /2} \right) \\ &= P\left( \hat{\theta}-\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}}x_{1-\alpha /2}<\theta <\hat{\theta}-\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}}x_{\alpha /2} \right). \end{aligned}\] Con lo cual, el intervalo de confianza bootstrap calculado por el método percentil-\(t\) se define como \[\hat{I}_2=\left( \hat{\theta}-\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}} x_{1-\alpha /2},\hat{\theta}-\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}} x_{\alpha /2} \right).\]

Utilizando el Teorema de Bhattacharya-Ghosh puede acotarse el error de aproximación entre la distribución en el muestreo de \(R_1\) y la distribución bootstrap de \(R_1^{\ast}\): \[\begin{aligned} P^{\ast}\left( R_1^{\ast}\leq u \right) -P\left( R_1\leq u \right) =&\ P^{\ast}\left( \sqrt{n}\frac{\hat{\theta}^{\ast}-\theta \left( \hat{F} \right)}{\hat{\sigma}_{\theta }^{\ast}}\leq u \right)-P\left( \sqrt{n} \frac{\hat{\theta}-\theta }{\hat{\sigma}_{\theta }}\leq u \right) \\ =&\ \Phi \left( u \right) +n^{-\frac{1}{2}}\hat{q}_1\left( u \right) \phi \left( u \right) +O_{P}\left( n^{-1} \right) \\ &-\left[ \Phi \left( u \right) +n^{-\frac{1}{2}}q_1\left( u \right) \phi \left( u \right) +O\left( n^{-1} \right) \right] \\ =&\ n^{-\frac{1}{2}}\left[ \hat{q}_1\left( u \right) -q_1\left( u \right) \right] \phi \left( u \right) +O_{P}\left( n^{-1} \right) \\ =&\ O_{P}\left( n^{-1} \right), \end{aligned}\] ya que los coeficientes que aparecen en el polinomio \(\hat{q}_1\left( u \right)\) son estimadores \(\sqrt{n}\)-consistentes de los coeficientes del polinomio \(q_1\left( u \right)\). Los de éste último dependen de los momentos poblacionales y los del primero son sus correspondientes versiones empíricas.

Así pues, el error de cobertura del intervalo de confianza bootstrap bilateral calculado por el método percentil-\(t\) es \[\begin{aligned} P\left( \theta \in \hat{I}_2 \right) -\left( 1-\alpha \right) =&\ P\left( R_1<x_{1-\alpha /2} \right) -P\left( R_1\leq x_{\alpha /2} \right) \\ & -\left[ P^{\ast}\left( R_1^{\ast}<x_{1-\alpha /2} \right) -P^{\ast }\left( R_1^{\ast}\leq x_{\alpha /2} \right) \right] \\ =&\ P\left( R_1<x_{1-\alpha /2} \right) -P^{\ast}\left( R_1^{\ast }<x_{1-\alpha /2} \right) \\ &-\left[ P\left( R_1\leq x_{\alpha /2} \right) -P^{\ast}\left( R_1^{\ast}\leq x_{\alpha /2} \right) \right] \\ =&\ O_{P}\left( n^{-1} \right) \end{aligned}\]

Se tiene entonces que el error de cobertura para los intervalos de confianza bilaterales bootstrap obtenidos mediante el método percentil-\(t\) es \(O\left( n^{-1} \right)\). Puede deducirse que ese es también el orden para los intervalos unilaterales obtenidos por este método. Así pues el orden del error de cobertura para el método percentil-\(t\) cuando se construyen intervalos de confianza unilaterales mejora al de los intervalos unilaterales basados en la normal asintótica, con un error de cobertura de orden \(O\left( n^{-\frac{1}{2}} \right)\). En el caso de los intervalos de confianza bilaterales, el orden del error de cobertura usando la normal asintótica o bien el bootstrap por el método percentil-\(t\) es el mismo, \(O\left( n^{-1} \right)\) en ambos casos.

En el Ejemplo 1.5, se implementó este método para obtener una estimación por intervalo de confianza del tiempo de vida medio de microorganismos. En el Ejemplo 1.6 se mostró como calcular este intervalo empleando el paquete boot (haciendo que la función statistic devuelva también la varianza del estadístico y estableciendo type="stud" en la llamada a la función boot.ci()).