2.2 Motivación del método Jackknife

El jackknife es probablemente el método de remuestreo, propiamente dicho, más antiguo. Fue propuesto por Quenouille (1949) para estimar el sesgo de un estimador. Tukey (1958) bautiza el método y lo utiliza para estimar la varianza de un estimador. En realidad el jackknife no suele utilizarse para aproximar la distribución de \(R\left( \mathbf{X},F \right)\), sino más bien para estimar características de dicha variable aleatoria, como su esperanza o su varianza.

La diferencia entre el bootstrap y el jackknife es muy fácil de expresar en términos de los vectores de remuestreo. Así, el bootstrap uniforme utiliza vectores de remuestreo de la forma \(\mathbf{P}^{\ast}=\left( \frac{m_1}{n},\ldots ,\frac{m_n}{n} \right)\), con \(m_i\in \mathbb{Z}^{+}\), \(i=1,\ldots ,n\), mientras que el jackknife considera vectores de remuestreo de la forma \[\mathbf{P}_{(i)}^{\ast}=\left( \frac{1}{n-1},\ldots ,\underset{(i)}{0} ,\ldots ,\frac{1}{n-1} \right).\] En otras palabras todas las remuestras jackknife posibles son tantas como el tamaño muestral y cada una consiste en eliminar una observación de la muestra, quedándose con una remuestra de tamaño \(n-1\) en la que las demás observaciones aparecen exactamente con frecuencia \(1\).

Evidentemente, el número de posibles remuestras jackknife, \(n\), es muchísimo más pequeño que el número de remuestras bootstrap, \(\binom{2n-1}{n}\), lo cual permite calcular con rapidez las realizaciones del estadístico de interés en todas las posibles remuestras jackknife.