9.1 Introducción a las condiciones de dependencia y modelos habituales de datos dependientes

9.1.1 Situaciones de dependencia general

Consideramos un proceso estocástico en tiempo discreto y con espacio de estados continuo (p. ej. \(\mathbb{R}\)), \(\left\{X_{t}\right\}_{t\in \mathbb{Z}}\), del cual observamos parte de su trayectoria: \(\left( X_1,X_2,\ldots ,X_n \right)\), es decir una muestra de datos dependientes. Este tipo de procesos estocásticos suelen llamarse series temporales.

Normalmente supondremos que el proceso \(\left\{ X_{t}\right\}_{t\in \mathbb{Z}}\) es estacionario. En ocasiones se requerirá además que sea fuertemente mixing: \[\sup_{A\in \mathcal{F}_1^{n},B\in \mathcal{F}_{n+k}^{\infty }}\left\vert P\left( A\cap B \right) -P\left( A \right) P(B) \right\vert \leq \alpha _{k}\text{, con }\alpha _{k}\rightarrow 0,\] o bien uniformemente mixing: \[\left\vert P\left( A\cap B \right) -P\left( A \right) P(B) \right\vert \leq \phi _{k}P\left( A \right) \text{, }\forall A\in \mathcal{F}_1^{n}, \forall B\in \mathcal{F}_{n+k}^{\infty }\text{, con }\phi_{k}\rightarrow 0,\] siendo \(\mathcal{F}_{s}^{t}\) la \(\sigma\)-algebra generada por las variables aleatorias \(X_{s},\ldots ,X_{t}\).

Estas condiciones establecen que la dependencia entre las variables aleatorias que conforman las observaciones de la muestra se atenúa a medida que sus instantes temporales se distancian.

9.1.2 Modelos paramétricos de dependencia

Los modelos paramétricos más habituales para datos dependientes y estacionarios son los autorregresivos (\(AR\left( p \right)\)): \[X_{t}=\phi _1X_{t-1}+\phi _2X_{t-2}+\cdots +\phi _{p}X_{t-p}+a_{t} \text{, }t\in \mathbb{Z},\] de medias móviles (\(MA\left( q \right)\)): \[X_{t}=a_{t}-\theta _1a_{t-1}-\theta _2a_{t-2}-\cdots -\theta _{p}a_{t-q} \text{, }t\in \mathbb{Z}\] y la mezcla de ambos (\(ARMA\left( p,q \right)\)): \[\begin{aligned} X_{t} =&\ \phi _1X_{t-1}+\phi _2X_{t-2}+\cdots +\phi _{p}X_{t-p} \\ &+a_{t}-\theta _1a_{t-1}-\theta _2a_{t-2}-\cdots -\theta _{q}a_{t-q},\end{aligned}\] En las anteriores expresiones los \(\left\{ a_{t}\right\} _{t\in \mathbb{Z}}\) representan una sucesión de variables independientes con la misma distribución (ruido blanco), habitualmente con distribución normal.