4.1 Intervalos basados en la distribución normal asintótica

Consideremos primeramente el caso más sencillo (y poco realista) de construcción de un intervalo de confianza para la media, \(\mu \,\), con desviación típica, \(\sigma\), conocida. El estadístico usado para construir el intervalo de confianza es \[R=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }\]que cuando \(n\rightarrow \infty\) tiende en distribución a una \(N\left( 0,1 \right)\). El intervalo de confianza basado en dicha aproximación normal es \(\hat{I}=\left( \bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}z_{\alpha /2}, \bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}z_{\alpha /2} \right)\). Mediante el desarrollo de Edgeworth dado por el Teorema de Cramer es fácil obtener una cota para el error de cobertura de dicho intervalo:

\[\begin{aligned} P\left( \mu \in \hat{I} \right) -\left( 1-\alpha \right) =&\ P\left( R<z_{\alpha /2} \right) -P\left( R\leq -z_{\alpha /2} \right) \\ &-\left( \Phi \left( z_{\alpha /2} \right) -\Phi \left( -z_{\alpha /2} \right) \right) \\ =&\ \ n^{-\frac{1}{2}}p_1\left( z_{\alpha /2} \right) \phi \left( z_{\alpha /2} \right) +O\left( n^{-1} \right) \\ &-\left( n^{-\frac{1}{2}}p_1\left( -z_{\alpha /2} \right) \phi \left( -z_{\alpha /2} \right) +O\left( n^{-1} \right) \right) \\ =&\ O\left( n^{-1} \right),\end{aligned}\]

ya que por la simetría de las funciones \(p_1\left( u \right)\) y \(\phi \left( u \right)\) se tiene \[p_1\left( -z_{\alpha /2} \right) \phi \left( -z_{\alpha /2} \right) =p_1\left( z_{\alpha /2} \right) \phi \left( z_{\alpha /2} \right).\] De esta forma, el orden del error de cobertura del intervalo de confianza bilateral con desviación típica poblacional conocida es \(O\left( n^{-1} \right)\). Puede obtenerse fácilmente el orden del error de cobertura de los intervalos unilaterales que resulta ser \(O\left( n^{-\frac{1}{2}} \right)\).

En el caso más realista en que la desviación típica, \(\sigma\), sea desconocida, el intervalo de confianza resulta \[\hat{I}_{0}=\left( \bar{X}-\frac{S_n}{\sqrt{n}}z_{\alpha /2},\bar{X}+\frac{S_n}{ \sqrt{n}}z_{\alpha /2} \right).\] Ahora, el estadístico en el que se basa la inferencia resulta: \[R_1=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu }{S_n}.\] Un desarrollo de Edgeworth del tipo del obtenido en el Teorema de Bhattacharya-Ghosh permite acotar el error de cobertura de este intervalo: \[\begin{aligned} P\left( \mu \in \hat{I}_{0} \right) -\left( 1-\alpha \right) =&\ P\left( R_1<z_{\alpha /2} \right) -P\left( R_1\leq -z_{\alpha /2} \right) \\ &-\left( \Phi \left( z_{\alpha /2} \right) -\Phi \left( -z_{\alpha /2} \right) \right) \\ =&\ n^{-\frac{1}{2}}q_1\left( z_{\alpha /2} \right) \phi \left( z_{\alpha /2} \right) +O\left( n^{-1} \right) \\ &-\left( n^{-\frac{1}{2}}q_1\left( -z_{\alpha /2} \right) \phi \left( -z_{\alpha /2} \right) +O\left( n^{-1} \right) \right) \\ =&\ O\left( n^{-1} \right). \end{aligned}\]

De esta forma, el orden del error de cobertura del intervalo de confianza bilateral con desviación típica desconocida es \(O\left( n^{-1} \right)\). El orden del error de cobertura para el intervalo de confianza unilateral resulta \(O\left( n^{-\frac{1}{2}} \right)\).

Si el parámetro de interés fuese otro arbitrario: \(\theta =\theta \left( F \right)\), no necesariamente la media, puede obtenerse, análogamente un intervalo de confianza basado en la normal asintótica: \[\hat{I}_{0}=\left( \hat{\theta}-\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}} z_{\alpha /2},\hat{\theta}+\frac{\hat{\sigma}_{\theta }}{\sqrt{n}} z_{\alpha/2} \right),\] que está basado en el estadístico \[R_1=\sqrt{n}\frac{\hat{\theta}-\theta }{\hat{\sigma}_{\theta }}.\] De forma análoga a lo ya razonado para la media muestral, puede deducirse que el error de cobertura del intervalo de confianza bilateral tiene un orden de \(O\left( n^{-1} \right)\), mientras que para intervalos unilaterales el orden es \(O\left( n^{-\frac{1}{2}} \right)\).