5.8 Ejercicios

Ejercicio 5.1 (Simulación de una distribución mixta mediante el método de inversión generalizado)

Consideramos la variable aleatoria con función de distribución dada por: \[F(x)=\left\{ \begin{array} [c]{cl}0 & \mbox{si $x<0$}\\ \frac{x}{2}+\frac{1}{10} & \mbox{si $x\in[0,\frac{1}{5})$}\\ x+\frac{1}{10} & \mbox{si $x\in[\frac{1}{5},\frac{9}{10}]$}\\ 1 & \mbox{en otro caso} \end{array} \right.\]

Esta función está implementada en el siguiente código:

fdistr <- function(x) {
ifelse(x < 0, 0,
    ifelse(x < 1/5, x/2 + 1/10,
        ifelse(x <= 9/10, x + 1/10, 1) ) )
}
# Empleando ifelse la función es vectorial (y podemos emplear curve...)
curve(fdistr, from = -0.1, to = 1.1, type = 's', 
      main = 'Función de distribución')
# Discontinuidades en 0 y 1/5
abline(h = c(1/10, 2/10, 3/10), lty = 2)

Nota: Esta variable toma los valores 0 y 1/5 con probabilidad 1/10.

Diseñar un algoritmo basado en el método de inversión generalizado para generar observaciones de esta variable.
Implementar el algoritmo en una función que permita generar $nsim$ valores de esta variable.

Ver solución en Sección D.3.1.

Ejercicio 5.2 (distribución hipergeométrica)

Se pretende simular $nsim=10^{4}$ observaciones de una variable hipergeométrica (dhyper(x, m, n, k)) de parámetros $m=$ el número de grupo multiplicado por 10, $n=100-m$ y $k=20$.

Comprobar que el rango de posibles valores de esta variable es max(0, k-n):min(m, k). Generar los valores empleando el método de la transformación cuantil usando búsqueda secuencial. Obtener el tiempo de CPU empleado. Aproximar por simulación la función de masa de probabilidad, representarla gráficamente y compararla con la teórica. Calcular también la media muestral (compararla con la teórica $km/(m+n)$) y el número medio de comparaciones para generar cada observación.
Repetir el apartado anterior: ordenando previamente las probabilidades en orden decreciente, empleando la función sample de R, mediante una tabla guía (con $k-1$ subintervalos) y usando el método de Alias.