8.5 Ejercicios

Ejercicio 8.2 (propuesto)

Aproximar mediante integración Monte Carlo (clásica) la media de una distribución exponencial de parámetro \(1/2\): \[I=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}dx\] y representar gráficamente la aproximación en función de \(n\). Comparar los resultados con los obtenidos empleando variables antitéticas, ¿se produce una reducción en la varianza?

NOTA: Puede ser recomendable emplear el método de inversión para generar las muestras (antitéticas) de la exponencial.

MC clásico:

nsim <- 1000
lambda <- 0.5
set.seed(1)
x <- - log(runif(nsim)) / lambda
# Aprox por MC da media 
mean(x) # valor teor 1/lambda = 2

## [1] 1.97439

# Aprox da precisión 
var(x)  

## [1] 3.669456

MC con variables antitéticas:

# xa <-
# mean(xa) # Aprox por MC da media (valor teor 1/lambda = 2)
# var(xa)  # Aprox da precisión supoñendo independencia
# corr <- cor(x1,x2)
# var(xa)*(1 + corr) # Estimación varianza supoñendo dependencia

Estimación del porcentaje de reducción en la varianza

# 100*(var(x) - var(xa))/var(x)