8.4 Números aleatorios comunes

Se trataría de una técnica básica del diseño de experimentos: realizar comparaciones homogéneas (bloquear). Por ejemplo cuando se diseña un experimento para la comparación de la media de dos variables, se pueden emplear las denominadas muestras apareadas, en lugar de muestras independientes.

Supóngamos que estamos interesados en las diferencias entre dos estrategias (e.g. dos estimadores): \[E\left( X\right) -E\left( Y\right) =E\left( X-Y\right).\]

Para ello se generan dos secuencias \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(\ldots\), \(X_{n}\), e \(Y_{1}\), \(Y_{2}\), \(\ldots\), \(Y_{n}\) y se calcula: \[\overline{X}-\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left( X_{i}-Y_{i}\right)\]

• Si las secuencias se generan de modo independiente: \[Var\left( \overline{X} - \overline{Y} \right) = \frac{1}{n} \left( Var\left( X \right) + Var\left( Y \right) \right)\]

• Si se generar las secuencias empleando la misma semilla, los datos son dependientes: \[Cov\left( X_{i}, Y_{i} \right) > 0\] y tendríamos que: \[\begin{aligned} Var\left( \overline{X}-\overline{Y}\right) & = \frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{N}Var\left( X_{i}-Y_{i}\right) = \frac{1}{n}Var\left( X_{i}-Y_{i}\right) \\ & = \frac{1}{n}\left( Var\left( X_{i} \right) + Var\left( Y_{i} \right) - 2Cov\left( X_{i},Y_{i} \right) \right) \\ & \leq \frac{1}{n}\left( Var\left( X_{i} \right) + Var\left( Y_{i}\right) \right) \end{aligned}\]

En el capítulo de aplicaciones de la simulación se empleó esta técnica para comparar distribuciones de estimadores…