5.6 Métodos específicos para generación de distribuciones notables

Los comentarios al principio de la Sección 4.5 para el caso de variables continuas serían válidos también para distribuciones notables discretas.

Entre los distintos métodos disponibles para la generación de las distribuciones discretas más conocidas podríamos destacar el de la distribución binomial negativa mediante el método de composición (Sección 4.4).

La distribución binomial negativa, \(BN(r, p)\), puede interpretarse como el número de fracasos antes del \(r\)-ésimo éxito23 y su función de masa de probabilidad es \[P(X = i) = \binom{i+r-1}i p^r (1-p)^i \text{, para }i=0,1,\ldots\]

A partir de la propiedad \[X|_{Y} \sim \text{Pois}\left( Y\right) \text{, }Y \sim \operatorname{Gamma} \left( r, \frac{p}{1-p}\right) \Rightarrow X \sim BN(r, p)\] se puede deducir el siguiente método específico de simulación.

Algoritmo 5.8 (distribución binomial negativa)

  1. Simular \(L \sim \operatorname{Gamma}\left( r, \frac{p}{1-p} \right)\).

  2. Simular \(X \sim Pois \left( L\right)\).

  3. Devolver \(X\).

Por este motivo se denominada también a esta distribución Gamma-Poisson. Empleando una aproximación similar podríamos generar otras distribuciones, como la Beta-Binomial, empleadas habitualmente en inferencia bayesiana.

  1. La distribución binomial negativa es una generalización de la geométrica y, debido a su reproductividad en el parámetro \(r\), podría simularse como suma de \(r\) variables geométricas. Sin embargo, este algoritmo puede ser muy costoso en tiempo de computación si \(r\) es elevado.↩︎