5.5 Otros métodos

Muchos de los métodos descritos en el Capítulo 4 para variables continuas son directamente aplicables al caso discreto:

  • Aceptación-Rechazo (Sección 4.2): En principio habría que considerar una variable auxiliar discreta con el mismo soporte, pero también hay modificaciones para variables auxiliares continuas.

  • Método de composición (Sección 4.4): es uno de los más empleados, por ejemplo en el método de Alias (Sección 5.3) y para simular la distribución binomial negativa (Sección 5.6).

Hay otros métodos que tratan de reducir el número medio de comparaciones de la búsqueda secuencial, por ejemplo los árboles (binarios) de Huffman (e.g. Cao, 2002, Sección 4.2). Estos métodos son muy poco eficientes para simular variables discretas pero pueden resultar de utilidad para diseñar experimentos de simulación más complejos (la idea es la misma, preocuparse principalmente por los sucesos más probables).

En ocasiones el método de la transformación cuantil puede acelerarse computacionalmente porque, mediante cálculos directos, es posible encontrar el valor de la función cuantil en cualquier \(U\), evitando el bucle de búsqueda. Normalmente se realiza mediante truncamiento de una distribución continua.

Ejemplo 5.6 (Cálculo directo de la función cuantil)

La función de masa de probabilidad de una distribución geométrica es: \[P\left( X=j\right) =P\left( I=j+1\right) =p\left( 1-p\right)^{j}\text{, }j=0,1,\ldots\]

Si se considera como variable aleatoria continua auxiliar una exponencial, con función de distribución \(G\left( x\right) = 1-e^{-\lambda x}\) si \(x\geq0\), se tiene que: \[\begin{aligned} G\left( i\right) - G\left( i-1\right) & = 1-e^{-\lambda i}-\left(1-e^{-\lambda\left( i-1\right) }\right) = e^{-\lambda\left( i-1\right)}-e^{-\lambda i}\\ & = e^{-\lambda\left( i-1\right) }\left( 1-e^{-\lambda}\right) = \left( 1-e^{-\lambda}\right) \left( e^{-\lambda}\right)^{i-1} \\ & = p\left(1-p\right)^{i-1}, \end{aligned}\] tomando \(p=1-e^{-\lambda}\). De donde se obtendría el algoritmo:

Algoritmo 5.7 (distribución geométrica)

  1. Hacer \(\lambda=-\ln\left( 1-p\right)\).

  2. Generar \(U\sim \mathcal{U}\left( 0,1\right)\).

  3. Hacer \(T=-\frac{\ln U}{\lambda}\).

  4. Devolver \(X=\left\lfloor T\right\rfloor\).