5.4 Simulación de una variable discreta con dominio infinito

Los métodos anteriores están pensados para variables que toman un número finito de valores. Si la variable discreta tiene dominio infinito no se podrían almacenar las probabilidades acumuladas, aunque en algunos casos podrían calcularse de forma recursiva.

Ejemplo 5.5 (distribución de Poisson)

Una variable \(X\) con distribución de Poisson de parámetro \(\lambda\), toma los valores \(x_{1}=0\), \(x_{2}=1\), \(\ldots\) con probabilidades: \[p_{j}=P\left( X=x_{j}\right) =P\left( X=j-1\right) =\frac{e^{-\lambda }\lambda^{j-1}}{\left( j-1\right) !}\text{, }j=1,2,\ldots\] En este caso, como: \[P\left( X=j\right) =\frac{e^{-\lambda}\lambda^{j}}{j!} =\frac{\lambda}{j}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{j-1}}{\left( j-1\right) !} =\frac{\lambda}{j}P\left( X=j-1\right),\] el algoritmo de inversión con búsqueda secuencial sería:

  1. Generar \(U\sim \mathcal{U}\left( 0,1\right)\).

  2. Hacer \(I=0\), \(p=e^{-\lambda}\) y \(S=p\).

  3. Mientras \(U>S\) hacer \(I=I+1\), \(p=\frac{\lambda}{I}p\) y \(S=S+p\).

  4. Devolver \(X=I\).

Hay modificaciones de los algoritmos anteriores, por ejemplo el de tabla guía con búsqueda secuencial en la cola de la distribución, para variables con dominio infinito.

Como alternativa, siempre se puede pensar en truncar la distribución, eliminando los valores muy poco probables (teniendo en cuenta el número de generaciones que se pretenden realizar), aunque la distribución de las simulaciones será aproximada.